Simuler une expérience aléatoire

Cette activité se propose d'étudier un jeu afin d'estimer le gain moyen qu'il peut apporter.

Un casino propose le jeu suivant : 

• le joueur choisit un nombre entre 1 et 6 ;
  
• le joueur lance deux dés une ou plusieurs fois, les lancers sont indépendants ;
  
• chaque lancer coûte 1 € ;
  
• lorsque les issues des deux dés sont égales au numéro choisi, le joueur remporte 20 € ; 
  
• si l'issue d'un seul des deux dés est égale au numéro choisi, le joueur remporte 1 € ; 
  
• dans tous les autres cas, le joueur perd sa mise et ne remporte rien. 
  

1. Simulation du jeu

Le programme en Python suivant simule 100 lancers à ce jeu.

   a. Faire tourner cette simulation et décrire la sortie que le programme affiche. Que représente la liste L ? 
   b. Répéter plusieurs fois cette simulation. Sur 100 parties, le jeu semble-t-il favorable au joueur ? 
   c. Compléter l'algorithme afin qu'il affiche le gain total au bout de 100 parties, puis le gain moyen de chaque partie. Peut-on conseiller à un joueur de jouer à ce jeu ? 
   d. Essayer de simuler 1 000 parties puis 10 000. La réponse précédente change-t-elle ?

2. Modélisation

On considère l'expérience aléatoire consistant à lancer, une fois, deux dés classiques équilibrés et on définit la fonction   `\text{G}`  qui, à chaque issue de cette expérience aléatoire, associe le gain du joueur en € ;   `\text{G}`  est une variable aléatoire.
    a. Représenter l'expérience aléatoire à l'aide d'un arbre pondéré ou d'un tableau à double entrée. Quelles sont les différentes issues de cette expérience aléatoire ? 
    b. Déterminer les probabilités de chacune des issues possibles. 
    c. Expliquer pourquoi `\text{G}`   ne prend que les trois valeurs suivantes : `-1 ; 0 ; 19` .
Dans la suite, on note  `(\text{G}=19)`  l'événement « Le joueur gagne 19 € ». 
    d. Déterminer les probabilités suivantes : `P(\text{G}=\text[-1]);P(\text{G}=0); P(\text{G}=19)` . 
    e. Calculer  `E(\text{G})=\text[-1]\timesP(\text{G}=\text[-1])+0\timesP(\text{G}=0)+19\times P(\text{G}=19)` . Ce nombre s'appelle espérance de la variable aléatoire `\text{G}` . Quelle pourrait-être son interprétation dans le cadre de ce jeu ?

D'après Éduscol.